Sabtu, 14 Maret 2009

penggunaan turunan

PENGGUNAAN TURUNAN


  1. Penggunaan Turunan dalam menentukan nilai maksimum dan minimum

Definisi

Andaikan S, daerah asal f, memuat titik c. Kita katakana bahwa:

  • f(c) adalah nilai maksium f pada S jika f(c) ≥ f(x) untuk semua x di S;

  • f(c) adalah nilai minimum f pada S jika f(c) ≤ f(x) untuk semua x di S;

  • f(c) adalah nilai ekstrim f pada S jika ia adalah nilai maksimim atau nilai minimum


Teorema A

(Teorema Eksistensi Maksimum dan minimum).

Jika f kontinu pada selang tertutup [a,b], ,maka f mencapai nilai maksimum dan minimum.


Torema B

(Teorema Titik kritis)

Andaikan f didefinisikan pada selang I yang memuat titik c. JIka f(c) adalh titik ekstrim, maka haruslah suatu titik kritis;yakni c berupa salah satu:

  • Titik ujung dari I

  • Titik stasioner dari f(f’(c)=0);

  • Titik singular dari f(f’(c)tidak ada)

Titik kritis (Titik ujung, Titik stasioner dan Titik singular) merupakan titik kinci dari teori maksimum dan minimum


Contoh:

1.Carilah nilai-nilai maksimum dan mimnimum dari 2x3-3x2-12x+7pada [0,1]

Penyelesaian :

F(x)= x3-6x2-9x+5

F’(x)= 3x2-12x-9

F’(x)=0

x2-4x+3=0

(x-3) (x-1)=0

x=3 U x= 1

Di peroleh titik kritis 0 dan 2

F(0)=5 nilai maksimum

F(2)= -9 nilai minimum





2. Seorang peternak akan membuat pagar untuk menjaga agar ternaknya tidak hilang. Dia memiliki 60 m kawat berduri yang akan dipakai untuk membuat 3 pagar identik yang berdampingan. Berapa ukuran seluruh kelilingnya agar luas maksimum


Penyelesaian

y


x





4x+2y+40

Y=20-2x


Luas total A diberikan oleh:

A=xy

=x(20-2z)

=20x-2x2

Karena harus terdapat 4 sisi sepanjang x.Kita lihat bahwa 0 ≤ x ≤ 30

Sehingga kita harus memaksimalkan A pada [0,30]


A= 20x-2x2

A’=20-4x

A’=0

20-4x=0

x=5


titik ekstrim yang didapat adalah 0,5,30

A(0)=0

A(5)= 150

A(30)=0


Jadi agar mencapai luas max, peternak harus membuat pagar dengan x= 5 m, dan y=20-2x

=20-2(5)

=20-10

=10 m






  1. Penggunaan turunan dalam menentukan kemotonan dan kecekungan

Definisi

Andaikan f terdefinisi pada selang I (terbuka, tertutup,atau tak satupun). Kita katakana bahwa:

  • f adalah naik pada I jika uintuk setiap pasang bilangan x1 dan x2 dalam I,

x1 <>2 → f(x1) <>2)

  • f adalah turunan pada I jika untuk setiap pasang bilangan x1 dan x2 dalam I,

x1 <>2 → f(x1) > f(x2)

  • f monoton murni pada I jika ia naik pada I


Teorema A

(Teorema kemonotonan )

Andaikan f kontinu pada selang I dan dapat di ddiferensialkan pada setiap titik dalam dari I.

  • JIka f’(x) > 0 untuk setiap titik dalam x dari I, maka f naik pada I,

  • Jika f ‘(x) > 0 untuk setiap titik dalam x dari I, maka f naik pada I,

Teorema B

(Teorema kecekungan)

Andaikan f dapat diturunkan dua kali interval buka I yang memuat titik kritis c dimana f’(c)=0. maka:

  • Jika f”(x) >0 pada I, maka f(c) merupakan nilai minimum dari f(x) pada I

  • Jika f”(x) <0>


Contoh

Jika terdapat fungsi f = 2x3-3x2-36+40

  1. Cari dimana f naik dan dimana turun

  2. Cari dimana f cekung ke atas dan dimana cekung ke bawah


Penyelesaian


  1. f(x) = 2x3-3x2-36+40

f’(x)=6x2-6x-36

f’(x)=3(x-3)(x+2)


(x-3)(x+2) >0 (x-3)(x+2) <0>

x>3 U x> -2 x<3>

f’(-2)=0

f'(3)=0




+ (0) _ (0) +



-2 3


Jadi fungsi f = 2x3-3x2-36+40 naik pada (- ~, - 2] dan [3,~0) serta turun pada [- 2.3]



  1. f (x)= 2x3-3x2-36+40

f’(x)=6x2-6x-36

f”(x)=12x-6

f”(x)=6(2x-1)

(2x-1) <>0

x <1/2>1/2

(0)

_ +

1/2



Jadi fungsi

f (x)=2 x3-3x2-36+40 cekung bawah di (- ~,1/2} dan cekung atas [1/2,~)


  1. Penggunaan Turunan dalam menentukan nilai maksimim dan minimum lokal

Definisi

Andaikan S, daerah asal f, memuat titik c. kita katakana bahwa :

    • f(c) nilai maksimum local f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikian sehingga f(c) adalah nilai maksimum f pada (a,b) ∩ S;

    • f(c) nilai minimum local f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikian sehingga F(c) adalah nilai minimum f pada (a,b) ∩ S ;

    • f(c) nilai ekstrim local f jika ia beruapa nilai maksimum local atau minimum local.


Teorema A

(Uji turunan pertama untuk setiap ekstrim local )

  • Jika f’(x) > 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f’(x) <>

  • Jika f’(x) <>0 untuk semua x dalam (c,b), maka f(c) adalah nilai maksimum local f.

  • Jika f’(x) bertanda sama pada kedua pihak c, maka f(c) bukan nilai ekstrim local f.


Teorema B

(Uji turunan kedua untuk ekstrim local)

Andaikan f’ dan f” ada pada setiap titik dalam selang terbuka (a,b) yang memuat c, dan andaikan f’(c) = 0.;

  • Jika f”(c) <>

  • Jika f”(c) > 0, f(c) adalah nilai minimum local f.


Contoh

Tentukan nilai ekstrim local dari f (x)= 2x3-3x2-36+40 dengan menggunakan uji turunan pertama dan kedua


Penyelesaian

f (x)= 2x3-3x2-36+40

f’(x)=6x2-6x-36 = 6 (x2-x-6) = 6 (x-3)(x+2)

f”(x)=12x-6 = 6(2x-1)


f’(3)=0 dan f’(-2)=0

f(3)=233-3.32-36.3+40

=54-3.9-108+40

= - 41


f(-2)= 2(-2)3-3(-2)2-36(-2)+40

= -16-3.4+72+40

=-16-12+72+40

=84

Jadi menurut uji turunan pertama f(3)=-41 merupakan nilai minimum local dan f(-2)=84 merupakan nilai maksimum local


f”(1/2)=0

f(1/2) = 2(1/2)3-3(1/2)2-36(1/2)+40

=1/4-6/8-18+40

=-45/2


Jadi menurut uji turunan kedua f(1/2)= -45/2 merupakan nilai minimum lokal


  1. Lebih banyak masalah maksimum dan minimum

Dalam mencari nilai maksimum dan minimum suatu fungsi adalah dengan himpunan yang berupa selang tertutup. Namun dalam prakteknya, himpunan yang muncul tidak selalu berupa saelang tertutup. Kadang terbuka atau bahkan setengah terbuka, setengah tertutup.


Contoh

Sebuah karton yang luasnya 96 cm2 akan dibuat sebuah kotak tanpa tutup, dengan alas berbentuk persegi. Tentukan ukuran kotak agar volumenya maksimum!


Penyelesaian

Misalnya ukuran kotak adalah panjang=lebar=x dan tinggi =t.

Luas permukaan kotak (tanpa tutup), terdiri dari persegi dan empat persegi panjang. Jadi, L=x2+4xt=96


x


t t







48-x2

t= ──────

2x


Volume , V(x)=x2.t

48-x2

= x2 . ────── =12x-1/2x3

2x

Agar kotak memiliki volume maksimum berarti V’(x)=0 sehingga 12-3/2x2=0

x2=64 ↔ x=8 atau x= -8

Jadi, kotak tersebut memiliki ukuran panjang=lebar=8 satuan dan tinggi, t= 4 satuan




  1. Penerapan Ekonomik

Dalam kehidupan sehari-hari banyak masalah-masalah yang berkaitan dengan penentuan nilai maksimum dan minimum. Misalnya dalam bidang ekonomi contohnya dalam mencari keuntungan (laba) maksimum serta mencari biaya produksi minimum.

Konsep dasar untuk sebuah perusahaan adalah total laba P(x), yakni sisih anatara pendapatan dan biaya.


Contoh

Suatu perusahaan farmasi memproduksi suatu jenis obat dengan harga Rp200,- per unit. Jika banyaknya produksi x unit, biaya totalnya 5.000.000+80x+0,003x2, berapa unutkah produk yang harus dijual agar mendapatkan keuntungan maksimum?


Penyelesaian

Pendapatan total=200x

Biaya total 5.000.000+80x+0,003x2

Misalnya keuntungan L9x)=200x-(5.000.000+80x+0,003x2)

Keuntungan akan maksimum jika L’(x)=0

L’(x)=0 ↔ 120-0,006x=0

0,006x=120

x= 20.000

Untuk x=20.000, unit keuntungan yang diperoleh oleh perusahaan farmasi adalah

L(20.000) = 200.20.000-5.000.000+120.(20.000)-0,003.(20.000)2

=4.000.000-5.000.000+2.400.000-0,003.(400.000.000)

=4.000.000-5.000.000+2.400.000-1.200.000

=200.000

Jadi, keuntungan maksimum diperoleh ketika barang produksinya terjual 20.000 unit dan keuntungan maksimum sebesar Rp 200.000,00


  1. Limit di Ketakhinggaan, Limit tak terhingga


Definisi

(Limit bila x→ ∞)

Andaikan f terdefinisi pada [c,∞) untuk suatu bilangn c.

Kita katakan bahwa lim f(x)=L jika untuk masing-masing є >0, terdapat bilangan M yang

x→∞

berpadanan sedemikian sehingga

x> M→‌‌‌ ‌‌│f(x)-L │< є


Definisi

(Limit bila x→ ∞)

Andaikan f terdefinisi pada (-∞,c] untuk suatu bilangn c.

Kita katakan bahwa lim f(x)=L jika untuk masing-masing є >0, terdapat bilangan M yang

x→-∞

berpadanan sedemikian sehingga

x<>


Definisi

{limit – limit tak terhingga }.

Kita katakan bahwa lim f{x}=∞ jika untuk tiap bilangan positif M, berpadanan suatu ∂ >0

x→c+

sedemikian sehingga 0 <>M


Contoh

lim 5x-3

x→ ∞ ────

6x

=5/6



  1. Penggambaran grafik canggih


Kalkulus menyediakan alat ampuh untuk menganalisis struktur grafik secara baik, khususnya dalam mengenali titik-titik tempat terjadinya perubahan cirri-ciri grafik. Kita dapat menempatkan titik-titik maksimum local, titik-titik minimum local, dan titik-titik balik; kita dapat menentukan secara persis di mana grafik naik atau dimana cekung ke atas.


Prosedur dalam menggambar graik fungsi:


Langkah 1 Buat analisis pendahuluan segai berikut:


  • Periksa daerah asal dan daerah hasil fungsi untuk melihat apakah ada daerah bidang yang dikecualikan

  • Uji kesimetrian terhadap sumbu y dan titik asal. (Apakah fungsi genap atau ganjil)

  • Cari perpotongan dengan subu-sun\mbu koordinat

  • Gunakan turunan pertama untuk mencari titik-titik kritis dan untuk mengetahui tempat-tempat grafik naik dan turun

  • Uji titik-titik kritis untuk maksimum dan minimum local

  • Gunakan turunan kedua untuk mengetahui tempat-tempat grafik cekung ke atas dan cekung ke bawahdan untuk melokasikan titik-titik balik

  • Cari asimtot-asimtot


Langkah 2 Gambarkan beberapa titik (termasuk semua titik kritis dan balik)


Langkah 3 Sketsakan grafik


Contoh

Sketsakan grafik f (x)= 2x3-3x2-36+40


Penyelesaian

f (x)= 2x3-3x2-36+40

f’(x)=6x2-6x-36 = 6(x2-x-6) = 6 (x-3)(x+2)

f”(x)=12x-6 = 6(2x-1)


fungsi f = 2x3-3x2-36+40 naik pada (- ~, - 2] dan [3,~0) serta turun pada [- 2.3]

fungsi f (x)= 2x3-3x2-36+40 cekung bawah di (- ~,1/2} dan cekung atas [1/2,~)







f’(3)=0 dan f’(-2)=0

f(3)=233-3.32-36.3+40

=54-3.9-108+40

=- 14 – 27

= - 41

f(-2)= 2(-2)3-3(-2)2-36(-2)+40

= -16-3.4+72+40

=-16-12+72+40

=84

Jadi menurut uji turunan pertama f(3)=-41 merupakan nilai minimum local dan f(-2)=84 merupakan nilai maksimum local


f”(1/2)=0

f(1/2) = 2(1/2)3-3(1/2)2-36(1/2)+40

=1/4-3/4-18+40

=-45/2


Jadi menurut uji turunan kedua f(1/2)= -45/2 merupakan nilai minimum local





(-2,84) max lokal



Y



3


2


1

(-22,5;1/2)▪ X

-3 -2 -1 -1 1 2 3


-2


-3


(1/2;-22,5)


(3:-41) min lokal


  1. Teorema nilai rata-rata


Teorema A

(Teorema nilai rata-rata untuk turunan).

Jika f kontinu padad selang tertutup (a,b) dan terdefinisi pada titik-titik dalam dari (a,b), maka terdapat paling sedikit satu bilangan c dalam (a,b) dimana

f (b) – f (a)

─────── = f’(c)

b-a

atau secara setara dimana

f(b)-f(a)=f’(c) (b-a)


Teorema B

Jika F’(x) = G’(x) untuik semua x dalam (a,b), maka terdapat konstsnta C sedemikian sehingga

F(x)=G(x)+C


Untuk semua x dalam (a,b)






Contoh

Omah menempuh 100 km dalam 4 jam dan menegaskan bahwa ia tidak pernah melampaui 55 km/jam. Gunakan torema nilai rata-ratamembuktikan bahwa ia bohong

Penyelesaian

Terdapat suatu bilangan c dalam (0,2) sedemikian sehingga

f(2)=100

f(0)=0

f’(c) = [f(2) – f(0)]

───────

4- 0

100-0

= ────

4

= 25


Jadi kecepata yang harus ditempuh selama 4 jam haruslah sebesar 5 km/jam

Sehngga terbukti bahwa Ninis telah berbohong













Jumat, 13 Maret 2009

PENGGUNAAN TURUNAN
Penggunaan Turunan dalam menentukan nilai maksimum dan minimum
Definisi : Andaikan S, daerah asal f, memuat titik c. Kita katakana bahwa:
f(c) adalah nilai maksium f pada S jika f(c) ≥ f(x) untuk semua x di S;
f(c) adalah nilai minimum f pada S jika f(c) ≤ f(x) untuk semua x di S;
f(c) adalah nilai ekstrim f pada S jika ia adalah nilai maksimim atau nilai minimum
Teorema A : (Teorema Eksistensi Maksimum dan minimum).
Jika f kontinu pada selang tertutup [a,b], ,maka f mencapai nilai maksimum dan minimum.
Torema B : (Teorema Titik kritis)
Andaikan f didefinisikan pada selang I yang memuat titik c. JIka f(c) adalh titik ekstrim, maka haruslah suatu titik kritis;yakni c berupa salah satu:
Titik ujung dari I
Titik stasioner dari f(f’(c)=0);
Titik singular dari f(f’(c)tidak ada)
Titik kritis (Titik ujung, Titik stasioner dan Titik singular) merupakan titik kinci dari teori maksimum dan minimum
Contoh:
1.Carilah nilai-niulai maksimum dan mimnimum dari 2x3-3x2-12x+7pada [0,2]
Penyelesaian :
F(x)= 2x3-3x2-12x+7
F’(x)= 6x2-6x-12
F’(x)=0
6x2-6x-12=0
(x-2) (x-1)=0
x=2 U x= -1
Di peroleh titik kritis 0 dan 2
F(0)=7 nilai maksimum
F(2)= -13 nilai minimum
2. Seorang peternak akan membuat pagar untuk menjaga agar ternaknya tidak hilang. Dia memiliki 120 m kawat berduri yang akan dipakai untuk membuat 3 pagar identik yang berdampingan. Berapa ukuran seluruh kelilingnya agar luas maksimumu
Penyelesaian
y
x
4x+2y+120
Y=60-2x
Luas total A diberikan oleh:
A=xy
=x(60-2z)
=60x-2x2
Karena harus terdapat 4 sisi sepanjang x.Kita lihat bahwa 0 ≤ x ≤ 30
Sehingga kita harus memaksimalkan A pada [0,30]
A= 60x-2x2
A’=60-4x
A’=0
60-4x=0
x=15
titik ekstrim yang didapat adalah 0,15,30
A(0)=0
A(15)= 450
A(30)=0
Jadi agar mencapai luas max, peternak harus membuat pagar dengan x= 15 m, dan y=60-2x
=60-2(15)
=60-30
=30 m
Penggunaan turunan dalam menentukan kemotonan dan kecekungan
Definisi : Andaikan f terdefinisi pada selang I (terbuka, tertutup,atau tak satupun). Kita katakana bahwa:

f adalah naik pada I jika uintuk setiap pasang bilangan x1 dan x2 dalam I,x1 <>2 → f(x1) <>2)f adalah turunan pada I jika untuk setiap pasang bilangan x1 dan x2 dalam I,x1 <>2 → f(x1) > f(x2)f monoton murni pada I jika ia naik pada I



Teorema A : (Teorema kemonotonan )

Andaikan f kontinu pada selang I dan dapat di ddiferensialkan pada setiap titik dalam dari I. JIka f’(x) > 0 untuk setiap titik dalam x dari I, maka f naik pada I,Jika f ‘(x) > 0 untuk setiap titik dalam x dari I, maka f naik pada I,

Teorema B : (Teorema kecekungan)

Andaikan f dapat diturunkan dua kali interval buka I yang memuat titik kritis c dimana f’(c)=0. Maka:

Jika f”(x) >0 pada I, maka f(c) merupakan nilai minimum dari f(x) pada IJika f”(x) <0>

Contoh: Jika terdapat fungsi f = x3-3/2x2-18+20 Cari dimana f naik dan dimana turunCari dimana f cekung ke atas dan dimana cekung ke bawah Penyelesaian

f(x) = x3-3/2x2-18+20

f’(x)=3x2-3x-18

f’(x)=3(x-3)(x+2)

(x-3)(x+2) >0 (x-3)(x+2) <0>

x>3 U x> -2 x<3>

f’(-2)=0
F'(3)=0



+ (0) _ (0) +
-2 3
Jadi fungsi f = x3-3/2x2-18+20 naik pada (- ~, - 2] dan [3,~0) serta turun pada [- 2.3]
f (x)= x3-3/2x2-18+20
f’(x)=3x2-3x-18
f”(x)=6x-3
f”(x)=3(2x-1)
(2x-1) <>0
x <1/2>1/2
(0)
_ +
1/2
Jadi fungsi
f (x)= x3-3/2x2-18+20 cekung bawah di (- ~,1/2} dan cekung atas [1/2,~)
Penggunaan Turunan dalam menentukan nilai maksimim dan minimum lokal
Definisi
Andaikan S, daerah asal f, memuat titik c. kita katakana bahwa :
f(c) nilai maksimum local f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikian sehingga f(c) adalah nilai maksimum f pada (a,b) ∩ S;
f(c) nilai minimum local f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikian sehingga F(c) adalah nilai minimum f pada (a,b) ∩ S ;
f(c) nilai ekstrim local f jika ia beruapa nilai maksimum local atau minimum local.
Teorema A
(Uji turunan pertama untuk setiap ekstrim local )
Jika f’(x) > 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f’(x) <>
Jika f’(x) <>0 untuk semua x dalam (c,b), maka f(c) adalah nilai maksimum local f.
Jika f’(x) bertanda sama pada kedua pihak c, maka f(c) bukan nilai ekstrim local f.
Teorema B
(Uji turunan kedua untuk ekstrim local)
Andaikan f’ dan f” ada pada setiap titik dalam selang terbuka (a,b) yang memuat c, dan andaikan f’(c) = 0.;
Jika f”(c) <>
Jika f”(c) > 0, f(c) adalah nilai minimum local f.
Contoh
Tentukan nilai ekstrim local dari f (x)= x3-3/2x2-18+20 dengan menggunakan uji turunan pertama dan kedua
Penyelesaian
f (x)= x3-3/2x2-18+20
f’(x)=3x2-3x-18 = 3 (x2-x-6) = 3 (x-3)(x+2)
f”(x)=6x-3 = 3(2x-1)
f’(3)=0 dan f’(-2)=0
f(3)=33-3/2.32-18.3+20
=27-3/2.9-54+20
=- 7 – 27/2
= - 41/2
f(-2)= (-2)3-3/2(-2)2-18(-2)+20
= -8-3/2.4+36+20
=-8-6+36+20
=42
Jadi menurut uji turunan pertama f(3)=-41/2 merupakan nilai minimum local dan f(-2)=42 merupakan nilai maksimum local
f”(1/2)=0
f(1/2) = (1/2)3-3/2(1/2)2-18(1/2)+20
=1/8-3/8-9+20
=-45/4
Jadi menurut uji turunan kedua f(1/2)= -45/4 merupakan nilai minimum lokal
Lebih banyak masalah maksimum dan minimum
Dalam mencari nilai maksimum dan minimum suatu fungsi adalah dengan himpunan yang berupa selang tertutup. Namun dalam prakteknya, himpunan yang muncul tidak selalu berupa saelang tertutup. Kadang terbuka atau bahkan setengah terbuka, setengah tertutup.
Contoh
Sebuah karton yang luasnya 48 cm2 akan dibuat sebuah kotak tanpa tutup, dengan alas berbentuk persegi. Tentukan ukuran kotak agar volumenya maksimum!
Penyelesaian
Misalnya ukuran kotak adalah panjang=lebar=x dan tinggi =t.
Luas permukaan kotak (tanpa tutup), terdiri dari persegi dan empat persegi panjang. Jadi, L=x2+4xt=48
x
t t
48-x2
t= ──────
4x
Volume , V(x)=x2.t
48-x2
= x2 . ────── =12x-1/4x3
4x
Agar kotak memiliki volume maksimum berarti V’(x)=0 sehingga 12-3/4x2=0
x2=16 ↔ x=4 atau x= -4
Jadi, kotak tersebut memiliki ukuran panjang=lebar=4 satuan dan tinggi, t= 2 satuan
Penerapan Ekonomik
Dalam kehidupan sehari-hari banyak masalah-masalah yang berkaitan dengan penentuan nilai maksimum dan minimum. Misalnya dalam bidang ekonomi contohnya dalam mencari keuntungan (laba) maksimum serta mencari biaya produksi minimum.
Konsep dasar untuk sebuah perusahaan adalah total laba P(x), yakni sisih anatara pendapatan dan biaya.
Contoh
Suatu perusahaan farmasi memproduksi suatu jenis obat dengan harga Rp200,- per unit. Jika banyaknya produksi x unit, biaya totalnya 5.000.000+80x+0,003x2, berapa unutkah produk yang harus dijual agar mendapatkan keuntungan maksimum?
Penyelesaian
Pendapatan total=200x
Biaya total 5.000.000+80x+0,003x2
Misalnya keuntungan L9x)=200x-(5.000.000+80x+0,003x2)
Keuntungan akan maksimum jika L’(x)=0
L’(x)=0 ↔ 120-0,006x=0
0,006x=120
x= 20.000
Untuk x=20.000, unit keuntungan yang diperoleh oleh perusahaan farmasi adalah
L(20.000) = 200.20.000-5.000.000+120.(20.000)-0,003.(20.000)2
=4.000.000-5.000.000+2.400.000-0,003.(400.000.000)
=4.000.000-5.000.000+2.400.000-1.200.000
=200.000
Jadi, keuntungan maksimum diperoleh ketika barang produksinya terjual 20.000 unit dan keuntungan maksimum sebesar Rp 200.000,00
Limit di Ketakhinggaan, Limit tak terhingga
Definisi
(Limit bila x→ ∞)
Andaikan f terdefinisi pada [c,∞) untuk suatu bilangn c.
Kita katakan bahwa lim f(x)=L jika untuk masing-masing є >0, terdapat bilangan M yang
x→∞
berpadanan sedemikian sehingga
x> M→‌‌‌ ‌‌│f(x)-L │< є
Definisi
(Limit bila x→ ∞)
Andaikan f terdefinisi pada (-∞,c] untuk suatu bilangn c.
Kita katakan bahwa lim f(x)=L jika untuk masing-masing є >0, terdapat bilangan M yang
x→-∞
berpadanan sedemikian sehingga
x<>
Definisi
{limit – limit tak terhingga }.
Kita katakan bahwa lim f{x}=∞ jika untuk tiap bilangan positif M, berpadanan suatu ∂ >0
x→c+
sedemikian sehingga 0 <>M
Contoh
lim 5x-3
x→ ∞ ────
6x
=5/6
Penggambaran grafik canggih
Kalkulus menyediakan alat ampuh untuk menganalisis struktur grafik secara baik, khususnya dalam mengenali titik-titik tempat terjadinya perubahan cirri-ciri grafik. Kita dapat menempatkan titik-titik maksimum local, titik-titik minimum local, dan titik-titik balik; kita dapat menentukan secara persis di mana grafik naik atau dimana cekung ke atas.
Prosedur dalam menggambar graik fungsi:
Langkah 1 Buat analisis pendahuluan segai berikut:
Periksa daerah asal dan daerah hasil fungsi untuk melihat apakah ada daerah bidang yang dikecualikan
Uji kesimetrian terhadap sumbu y dan titik asal. (Apakah fungsi genap atau ganjil)
Cari perpotongan dengan subu-sun\mbu koordinat
Gunakan turunan pertama untuk mencari titik-titik kritis dan untuk mengetahui tempat-tempat grafik naik dan turun
Uji titik-titik kritis untuk maksimum dan minimum local
Gunakan turunan kedua untuk mengetahui tempat-tempat grafik cekung ke atas dan cekung ke bawahdan untuk melokasikan titik-titik balik
Cari asimtot-asimtot
Langkah 2 Gambarkan beberapa titik (termasuk semua titik kritis dan balik)
Langkah 3 Sketsakan grafik
Contoh
Sketsakan grafik f (x)= x3-3/2x2-18+20
Penyelesaian
f (x)= x3-3/2x2-18+20
f’(x)=3x2-3x-18 = 3 (x2-x-6) = 3 (x-3)(x+2)
f”(x)=6x-3 = 3(2x-1)
fungsi f = x3-3/2x2-18+20 naik pada (- ~, - 2] dan [3,~0) serta turun pada [- 2.3]
fungsi f (x)= x3-3/2x2-18+20 cekung bawah di (- ~,1/2} dan cekung atas [1/2,~)
f’(3)=0 dan f’(-2)=0
f(3)=33-3/2.32-18.3+20
=27-3/2.9-54+20
=- 7 – 27/2
= - 41/2
f(-2)= (-2)3-3/2(-2)2-18(-2)+20
= -8-3/2.4+36+20
=-8-6+36+20
=42
Jadi menurut uji turunan pertama f(3)=-41/2 merupakan nilai minimum local dan f(-2)=42 merupakan nilai maksimum local
f”(1/2)=0
f(1/2) = (1/2)3-3/2(1/2)2-18(1/2)+20
=1/8-3/8-9+20
=-45/4
Jadi menurut uji turunan kedua f(1/2)= -45/4 merupakan nilai minimum local
(-2,42) max lokal
Y
3
2
1
(-11,25;1/2)▪ X
-3 -2 -1 -1 1 2 3
-2
-3
(1/2;-11.25)
(3:-20,5) min lokal
Teorema nilai rata-rata
Teorema A
(Teorema nilai rata-rata untuk turunan).
Jika f kontinu padad selang tertutup (a,b) dan terdefinisi pada titik-titik dalam dari (a,b), maka terdapat paling sedikit satu bilangan c dalam (a,b) dimana
f (b) – f (a)
─────── = f’(c)
b-a
atau secara setara dimana
f(b)-f(a)=f’(c) (b-a)
Teorema B
Jika F’(x) = G’(x) untuik semua x dalam (a,b), maka terdapat konstsnta C sedemikian sehingga
F(x)=G(x)+C
Untuk semua x dalam (a,b)
Contoh
Ninis menempuh 112 km dalam 2 jam dan menegaskan bahwa ia tidak pernah melampaui 55 km/jam. Gunakan torema nilai rata-ratamembuktikan bahwa ia bohong
Penyelesaian
Terdapat suatu bilangan c dalam (0,2) sedemikian sehingga
f(2)=112
f(0)=0
f’(c) = [f(2) – f(0)]
───────
2- 0
112-0
= ────
2
= 56
Jadi kecepata yang harus ditempuh selama 2 jam haruslah sebesar 56 km/jam
Sehngga terbukti bahwa Ninis telah berbohong
1.1Titik Ekstrim, Titik Belok, Asimtot, dan Grafik Fungsi
Ekstirm Mutlak dan Ekstrim Lokal kita mulai pasal ini dengan mendefinisikan ekstrim mutlak dan ekstrim lokal dari suatu fungsi yang diketahui pada suatu selang.
Definisi 1.1 Misalkan fungsi f kontinu pada selang I yang memuat titik c.
Fungsi f dikatakan mencapai maksimum mutlak di c jika f(c) ≥ f(x) untuk setiap x Є I. di sini f(c) dinamakan nilai maksimum mutlak, dan (c,f(c)) dinamakan titik maksimum mutlak mutlak dari fungsi f pada selang I.
Fungsi f dikatakan mencapai minimum mutlak di c jika f(c) ≤ f(x) untuk setiap x Є I. di sini f(c) dinamakan nilai mimimum mutlak, dan (c,f(c)) dinamakan titik mimimum mutlak mutlak dari fungsi f pada selang I.
Fungsi f dikatakan mencapi maksimum lokasl di c jika terdapat suatu δ > 0 sehingga pada selang ( c – δ, c +δ) berlaku f(c) ≥ f(x). di sini f(c) dinamakan nilai maksimum lokal, dan (c,f(c)) dinamakan titik maksimum lokal dari fungsi f pada selang I.
Fungsi f dikatakan mencapi minimum lokasl di c jika terdapat suatu δ > 0 sehingga pada selang ( c – δ, c +δ) berlaku f(c) ≥ f(x). di sini f(c) dinamakan nilai minimum lokal, dan (c,f(c)) dinamakan titik minimum lokal dari fungsi f pada selang I.
Catatan: maksimum dan minimum daru suatu fungsi dinamakan ekstrim fungsi tersebut.
Turunan di Titik Ekstrim Lokal
Pada suatu fungsi yang terdeferensialkan di titik ekstrim lokalnya, turunan fungsi di titik ekstrim lokalnya selalu nol. Berikut ini adalah teorema tentang turunan di titik ekstrim lokal beserta pembuktiannya.
Teorema 1.2 Turunan di titik ekstrim lokal
Misalkan fungsi f kontinu pada selang terbuka I yang memuat c. jika fungsi f mencapai ekstrim lokal di c dan fungsi f terdiferensialkan di c, maka f’(c) = 0.
Bukti: kita buktikan untuk kasus maksimum lokal saja, kasus minimum lokal serupa. Karena fungsi f mencapai maksimum lokal di c, maka di sekitar c belkau F(c) ≥ f(x), sehingga f(x) – f(c) ≤ 0. Karena fungsi f terdiferensialkan di c, maka kita mempunyai
f’(c) = f-(c) = dan f’(c) = f+(c) = .
ini mengakibatkan f’(c) ≥ 0 dan f’(c) ≤ 0, sehingga kesimpulannya f’(c) = 0.
Catatan: Kebalikan Teorema 1.2 tidak benar lain, cntoh penyangkalan adalah fungsi f(x) = x3. Di sini berlaku f’(0) = 0 tetapi fungsi f tidak mencapi ekstrim di 0.
Cara Mencari Ekstrim Ekstrim Mutlak pada Selang Tertutup
Salah satu fungsi kontinu mengatakan bahwa jika fungsi f kontinu pada selang tertutup [a,b], maka fungsi f terbatas pada [a,b] . batas atas terkecilnya adalah f(x) dan batas bawah terbesarnya f(x). kedua batas ini meenjadi nilai maksimum dan minimum mutlak dari fungsi f pada selang tertutup [a,b], yang ditentukan dengan cara berikut.
Tentukan semua titik kritis dari fungsi f pada selang tertutup [a,b] beserta nilai fungsinya, termasuk kedua titik ujung selangnya.
Bandingkan nilai fungsi di semua titik kritisnya, yang terbesar akan menjadi maksimum mutlaknya, dan yang terkecil akan menjadi minimum mutlaknya.
Contoh 1.4 Tentukan ekstrim mutlak dari fungsi f(x) 3x4 – 4x3 , -1 ≤ x ≤ 2.
Jawab Turunan pertama dari fungsi f(x) adalah
f(x) = 12x3 – 12x2 = 12x2(x – 1)
sehingga titik kritis dari fungsi f tercapai bila f’(x) = 0 dan di titik ujung selangnya. Ini mengakibatkan titik kritis dari fungsi f tercapai di
x = 0, x = 1, x = -1, dan x = 2
dengan
f(0) = 0, f(1) = -1, f(-1) = 7, dan f(2) = 16
dari keempat nilai fungsi ini, yang terbesar adalah f(2) = 16 dan yang terkecil f(1) = -1. Jadi nilai maksimum mutlak dari fungsi f adalah 16, yang tercapai di x = 2, dan nilai minimum mutlaknya -1, yang tercapai di x = 1.
Uji turunan pertama untuk kemotonan fungsi
Perhatikan fungsi f(x) = x2, yang monoton turun pada selang (-∞,0) karena x < 0 =""> x2 > 0, dan monoton naik pada selang (0, ∞) karena x > 0 => f(x) = x2 > 0. Turunan pertama dari fungsi f adalah f’(x) = 2x, sehingga kita mempunyai fenomena bahwa fungsi f monoton turun bila f’(x) <> 0. Fenomena ini sejalan dengan arti geometri turunan sebagai gradien garis singgung pada kurva. Ternyata bahwa fenomena ini berlaku untuk setiap fungsi f yang terdiferensialkan, yang teoremanya sebagai berikut.
Teorema 1.3 (Uji turunan Pertama untuk Kemonotonan Fungsi)
Misalkan fungsi f terdiferensialkan pada selang I. jika f’(x) > 0 pada selang I, maka fungsi f monoton naik pada I dan jika f’(x) <>
Bukti: kita buktikan teorema yang pertama saja, yang kedua dibuktikan serupa. Disini kita harus membuktkan fungsi f monoton naik pada I dengan cara memperlihatkan jika u, v pada I dengan u <>
Karena fungsi f terdiferensialkan pada selang I yang memuat selang [u,v], maka menurt TNR terdapat suatu c Є (u,v) sehingga
Pada bentuk ini diketahi f’(c) > 0 dan v - u > 0, yang mengakibatkan f(u) – f(v) > 0. Dari sini diperoleh f(u) <>
Uji turunan pertama untuk menentukan lokasi ekstrim lokal
Dari selang kemonotoan suatu fungsi kontinu dapat ditentukan lokasi ekstrim lokalnya berdasarkan perubahan kemonotonan fungsinya. Perubahan kemonotonan di sekitar titik kritis dari fungsinya dapat ditentukan dengan perubahan tanda dari turunan pertamanya di sekitar titik kritis tersebut. Di sekitar titik ktitis tersebut, perubahan dari monotonnaik ke monoton turun menghasilkan minimum lokal. Lokasi ekstrim lokal diberikan dalam teorema berikut.
Teorema 1.4 (Uji turunan pertama untuk ekstrim lokal)
Misalkan fungsi f kontinu pada selang terbuak I yang memuat titik kritis c.
Jika terdapat r > 0 sehingga f’(x) > 0 pada selang (c – r, c) ≤ I dan f’(x) <>
Jika terdapat r > 0 sehingga f’(x) <>0 oada selang (c,c + r) ≤ I, maka fungsi f mencapi maksimi lokal di c.
Uji turunan kedua untuk ekstrim lokal
Ekstrim lokal beserta jenisnya dari suatu fungsi dapt juaga ditentuka dengan memeriksa tanda turunan kedua di titik kritisnya, teoremanya sebagai berikut.
Teorema 1.5 (Uji turunan kedua untuk ekstrim lokal)
Misalkan fungsi f terdiferensialkan pada selang terbuka I yang memuat c.
Jika f’(c) = 0 dan f” (c) <>
Jika f’(c) = 0 dan f”(c) > 0, maka fungsi f mencapai minimum lokal di c.
Bukti Kita buktikan yang pertama saja, yang kedua dikerjakan serupa. Dar definisi turunan kedau fungsi f di c dengan menginngat bahwa f’(c) = 0 dan f”(c) <>
Akibatnya, disekitar titik c berlaku , yang menghasilkan
x < c =""> x – c < 0 =""> f’(x) > 0 dan x > c => x – c > 0 => f’(x) <>
Berdasarkan teorema 1.4 (uji turunan untuk ekstrim lokal), fungsi f mencapi maksimaum lokal di c, dan terbuktilah yang diinginkan.
1.1.2 Lokasi titik belok
Definisi 1.6
Fungsi f terdiferensialkan pada selang terbuka I dikatakan
Cekung ke atas pada selang I jika fungsi f’ monoton naik pada I,
Cekung ke bawah pada selang I jika fungsi f’ monoton turun pada I.
Uji turunan kedau untuk kecekungan fungsi
Karena kemonotonan fungsi dapat dikaitkan dengan tanda dari turunan pertamanya, maka kecekungan suatu fungsi pada selang terbuka dapat ditentukan dari tanda turunan keduanya, teoremanya sebagai berikut:
Teorema 1.7 (Uji kedua untuk kecekungan fungsi)
Misalkan fungsi f terdiferensialkan dua kali pada selang terbuka I. jika f”(x) > 0 pada I, maka fungsi f cekung ke atas pada I, dan jika f”(x) <>
Bukti
Karena f”(x) > 0 pada I, maka fungsi f’ monoton naik pada I. berdasarka n dengan definisi 1.6 tentang kecekungan, kondisi ini mengakibatkan fungsi f cekung ke atas pada I. Karena f”(x) <>
Turunan kedau di titik belok
Jika fungsi mempunyai turunan kedua dititik belok, maka nilai turunan keduanya selalu nol. Berikut ini adalah teorema yang menyatakan sifat tersebut beserta buktinya.
Teorema 1.8
Misalkan fungsi f terdiferensialkan pada selang terbuka I yang memuat c. jika fungsi f mencapi titik belok di c, dan f”(c) ada, maka f”(c) = 0.
Bukti: karena fungsi f mencapai titik belok di c, maka besar x = c terjadi perubahan kecekungan dari fungsi f. ini berarti bahwa di sekitar x = c terjadi perubahan kemonotonan dari f’, sehingga ekstrim lokal dari f’ tercapaidi x = c. dari sifat turunan ekstrim lokal, langsung diperoleh f”(c) = (f’)’ = 0, dan terbuktilah yang diinginkan.
Turunan ketiga di titik belok
Dari konsep titik belok dan teorema 1.8 kita mempunyai sifat bahwa jika f” (c) = 0 dan di sekitar c terjadi perubahan kecekungan fungsi f, maka fungsi f mencapi titik belok di x = c. syarat terdapatnya perubahan kecekungan dari f disekitar c dapat diganti oleh f”’ (c), asalkan fungsi f mempunyai turubab kedua di sekitar c. berikut adalah teorema yang menyatakan sifat tersebut beserta buktinya.
Teorema 1.9
Misalkan fungsi f mempunyai turunan kedua pada selang terbuka I yang memuat c dan f”’ (c) ada. Jika f”(c) 0 dan f”’(c) ≠ 0, maka fungsi f mencapi titik belok di c.
Bukti: Karena f”(c) = 0, maka fungsi f mempunyai garis singgung di di x = c. dari definisi turunan ketiga di c dengan mengingat f”(c) = di peroleh
Berdasarkan sifat nilai fungsi, kita mempunyai pada selang (c - r, c + r) I untuk suatu r > 0. Akibatnya, x Є (c – r, c + r) I berlaku
, atau
Untuk kemungkinan pertam, x < c =""> x – c < 0 =""> f” (x) < 0 =""> f cekung ke bawah dab x > c => x – c > 0 => f”(c) > 0 => f cekung ke atas. Jadi kecekungan fungsi f berubah di sekkitar c. dengan cara yang sama, kemungkina kedau juga mengahasilkab perubahan kecekungan di sekitar c. karena itu fungsi f mencapai titik belok di c, dan terbuktilah yang diinginkan.
Grafik suatu fungsi dapat digambarkan berdasarkan informasi tentang selang kemonotonannya, semua titik ekstrim beserta jenisnya, selang kecekungan, semua titik belok, semua asimtot, dan beberapa titik yang diperlukan.
Contoh 1.19 diketahui fungsi .
Tentukan selang kemonotonan, semua titik ekstrim lokal beserta jenisnya, selang kecekungan, dan semua asimtot fungsi f.
Jawab: fungsi f terdefinisi pada R – {0} dan dapat di tulis dalam bentuk
Turunan pertama dan kedua dari fungsi f adalah
Titik kritis dari fungsi f tercapai bila f’(x) = 0, yang menghasilkan x =-1 dan x =1, dengan f(-1)=0 dan f(1) = 1. Titik kritis dari fungsi f’ tidak ada karena fungsi f tidak terdefinisi di x = 0.
Kesimpulan:
Fungsi f monoton naik pada selang (-∞, -1) dan pada selang (1,∞); monoton turun pada selang (-1,0), dan pada selang (0,1).
Fungsi f mencapai maksimum lokal di c = -1 dengan f(-1) = 0; dan minimum lokal di x = 1 dengan f(1) = 1.
Fungsi f cekung ke bawah pada selang (-∞,0) dan cekung ke atas pada selang (0,∞).
Fungsi f tidak mempunyai titiik belok karena tidak terdefinisi untuk x = 0,