PENGGUNAAN TURUNAN
Penggunaan Turunan dalam menentukan nilai maksimum dan minimum
Definisi
Andaikan S, daerah asal f, memuat titik c. Kita katakana bahwa:
f(c) adalah nilai maksium f pada S jika f(c) ≥ f(x) untuk semua x di S;
f(c) adalah nilai minimum f pada S jika f(c) ≤ f(x) untuk semua x di S;
f(c) adalah nilai ekstrim f pada S jika ia adalah nilai maksimim atau nilai minimum
Teorema A
(Teorema Eksistensi Maksimum dan minimum).
Jika f kontinu pada selang tertutup [a,b], ,maka f mencapai nilai maksimum dan minimum.
Torema B
(Teorema Titik kritis)
Andaikan f didefinisikan pada selang I yang memuat titik c. JIka f(c) adalh titik ekstrim, maka haruslah suatu titik kritis;yakni c berupa salah satu:
Titik ujung dari I
Titik stasioner dari f(f’(c)=0);
Titik singular dari f(f’(c)tidak ada)
Titik kritis (Titik ujung, Titik stasioner dan Titik singular) merupakan titik kinci dari teori maksimum dan minimum
-
Contoh:
1.Carilah nilai-nilai maksimum dan mimnimum dari 2x3-3x2-12x+7pada [0,1]
Penyelesaian :
F(x)= x3-6x2-9x+5
F’(x)= 3x2-12x-9
F’(x)=0
x2-4x+3=0
(x-3) (x-1)=0
x=3 U x= 1
Di peroleh titik kritis 0 dan 2
F(0)=5 nilai maksimum
F(2)= -9 nilai minimum
2. Seorang peternak akan membuat pagar untuk menjaga agar ternaknya tidak hilang. Dia memiliki 60 m kawat berduri yang akan dipakai untuk membuat 3 pagar identik yang berdampingan. Berapa ukuran seluruh kelilingnya agar luas maksimum
Penyelesaian
y
x
4x+2y+40
Y=20-2x
Luas total A diberikan oleh:
A=xy
=x(20-2z)
=20x-2x2
Karena harus terdapat 4 sisi sepanjang x.Kita lihat bahwa 0 ≤ x ≤ 30
Sehingga kita harus memaksimalkan A pada [0,30]
A= 20x-2x2
A’=20-4x
A’=0
20-4x=0
x=5
titik ekstrim yang didapat adalah 0,5,30
A(0)=0
A(5)= 150
A(30)=0
Jadi agar mencapai luas max, peternak harus membuat pagar dengan x= 5 m, dan y=20-2x
=20-2(5)
=20-10
=10 m
Penggunaan turunan dalam menentukan kemotonan dan kecekungan
Definisi
Andaikan f terdefinisi pada selang I (terbuka, tertutup,atau tak satupun). Kita katakana bahwa:
f adalah naik pada I jika uintuk setiap pasang bilangan x1 dan x2 dalam I,
x1 <>2 → f(x1) <>2)
f adalah turunan pada I jika untuk setiap pasang bilangan x1 dan x2 dalam I,
x1 <>2 → f(x1) > f(x2)
f monoton murni pada I jika ia naik pada I
Teorema A
(Teorema kemonotonan )
Andaikan f kontinu pada selang I dan dapat di ddiferensialkan pada setiap titik dalam dari I.
JIka f’(x) > 0 untuk setiap titik dalam x dari I, maka f naik pada I,
Jika f ‘(x) > 0 untuk setiap titik dalam x dari I, maka f naik pada I,
Teorema B
(Teorema kecekungan)
Andaikan f dapat diturunkan dua kali interval buka I yang memuat titik kritis c dimana f’(c)=0. maka:
Jika f”(x) >0 pada I, maka f(c) merupakan nilai minimum dari f(x) pada I
Jika f”(x) <0>
Contoh
Jika terdapat fungsi f = 2x3-3x2-36+40
Cari dimana f naik dan dimana turun
Cari dimana f cekung ke atas dan dimana cekung ke bawah
Penyelesaian
f(x) = 2x3-3x2-36+40
f’(x)=6x2-6x-36
f’(x)=3(x-3)(x+2)
(x-3)(x+2) >0 (x-3)(x+2) <0>
x>3 U x> -2 x<3>
f’(-2)=0
f'(3)=0
+ (0) _ (0) +
-2 3
Jadi fungsi f = 2x3-3x2-36+40 naik pada (- ~, - 2] dan [3,~0) serta turun pada [- 2.3]
f (x)= 2x3-3x2-36+40
f’(x)=6x2-6x-36
f”(x)=12x-6
f”(x)=6(2x-1)
(2x-1) <>0
x <1/2>1/2
(0)
_ +
1/2
Jadi fungsi
f (x)=2 x3-3x2-36+40 cekung bawah di (- ~,1/2} dan cekung atas [1/2,~)
Penggunaan Turunan dalam menentukan nilai maksimim dan minimum lokal
Definisi
Andaikan S, daerah asal f, memuat titik c. kita katakana bahwa :
f(c) nilai maksimum local f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikian sehingga f(c) adalah nilai maksimum f pada (a,b) ∩ S;
f(c) nilai minimum local f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikian sehingga F(c) adalah nilai minimum f pada (a,b) ∩ S ;
f(c) nilai ekstrim local f jika ia beruapa nilai maksimum local atau minimum local.
Teorema A
(Uji turunan pertama untuk setiap ekstrim local )
Jika f’(x) > 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f’(x) <>
Jika f’(x) <>0 untuk semua x dalam (c,b), maka f(c) adalah nilai maksimum local f.
Jika f’(x) bertanda sama pada kedua pihak c, maka f(c) bukan nilai ekstrim local f.
Teorema B
(Uji turunan kedua untuk ekstrim local)
Andaikan f’ dan f” ada pada setiap titik dalam selang terbuka (a,b) yang memuat c, dan andaikan f’(c) = 0.;
Jika f”(c) <>
Jika f”(c) > 0, f(c) adalah nilai minimum local f.
Contoh
Tentukan nilai ekstrim local dari f (x)= 2x3-3x2-36+40 dengan menggunakan uji turunan pertama dan kedua
Penyelesaian
f (x)= 2x3-3x2-36+40
f’(x)=6x2-6x-36 = 6 (x2-x-6) = 6 (x-3)(x+2)
f”(x)=12x-6 = 6(2x-1)
f’(3)=0 dan f’(-2)=0
f(3)=233-3.32-36.3+40
=54-3.9-108+40
= - 41
f(-2)= 2(-2)3-3(-2)2-36(-2)+40
= -16-3.4+72+40
=-16-12+72+40
=84
Jadi menurut uji turunan pertama f(3)=-41 merupakan nilai minimum local dan f(-2)=84 merupakan nilai maksimum local
f”(1/2)=0
f(1/2) = 2(1/2)3-3(1/2)2-36(1/2)+40
=1/4-6/8-18+40
=-45/2
Jadi menurut uji turunan kedua f(1/2)= -45/2 merupakan nilai minimum lokal
Lebih banyak masalah maksimum dan minimum
Dalam mencari nilai maksimum dan minimum suatu fungsi adalah dengan himpunan yang berupa selang tertutup. Namun dalam prakteknya, himpunan yang muncul tidak selalu berupa saelang tertutup. Kadang terbuka atau bahkan setengah terbuka, setengah tertutup.
Contoh
Sebuah karton yang luasnya 96 cm2 akan dibuat sebuah kotak tanpa tutup, dengan alas berbentuk persegi. Tentukan ukuran kotak agar volumenya maksimum!
Penyelesaian
Misalnya ukuran kotak adalah panjang=lebar=x dan tinggi =t.
Luas permukaan kotak (tanpa tutup), terdiri dari persegi dan empat persegi panjang. Jadi, L=x2+4xt=96
x
t t
48-x2
t= ──────
2x
Volume , V(x)=x2.t
48-x2
= x2 . ────── =12x-1/2x3
2x
Agar kotak memiliki volume maksimum berarti V’(x)=0 sehingga 12-3/2x2=0
x2=64 ↔ x=8 atau x= -8
Jadi, kotak tersebut memiliki ukuran panjang=lebar=8 satuan dan tinggi, t= 4 satuan
Penerapan Ekonomik
Dalam kehidupan sehari-hari banyak masalah-masalah yang berkaitan dengan penentuan nilai maksimum dan minimum. Misalnya dalam bidang ekonomi contohnya dalam mencari keuntungan (laba) maksimum serta mencari biaya produksi minimum.
Konsep dasar untuk sebuah perusahaan adalah total laba P(x), yakni sisih anatara pendapatan dan biaya.
Contoh
Suatu perusahaan farmasi memproduksi suatu jenis obat dengan harga Rp200,- per unit. Jika banyaknya produksi x unit, biaya totalnya 5.000.000+80x+0,003x2, berapa unutkah produk yang harus dijual agar mendapatkan keuntungan maksimum?
Penyelesaian
Pendapatan total=200x
Biaya total 5.000.000+80x+0,003x2
Misalnya keuntungan L9x)=200x-(5.000.000+80x+0,003x2)
Keuntungan akan maksimum jika L’(x)=0
L’(x)=0 ↔ 120-0,006x=0
↔ 0,006x=120
↔x= 20.000
Untuk x=20.000, unit keuntungan yang diperoleh oleh perusahaan farmasi adalah
L(20.000) = 200.20.000-5.000.000+120.(20.000)-0,003.(20.000)2
=4.000.000-5.000.000+2.400.000-0,003.(400.000.000)
=4.000.000-5.000.000+2.400.000-1.200.000
=200.000
Jadi, keuntungan maksimum diperoleh ketika barang produksinya terjual 20.000 unit dan keuntungan maksimum sebesar Rp 200.000,00
Limit di Ketakhinggaan, Limit tak terhingga
Definisi
(Limit bila x→ ∞)
Andaikan f terdefinisi pada [c,∞) untuk suatu bilangn c.
Kita katakan bahwa lim f(x)=L jika untuk masing-masing є >0, terdapat bilangan M yang
x→∞
berpadanan sedemikian sehingga
x> M→ │f(x)-L │< є
Definisi
(Limit bila x→ ∞)
Andaikan f terdefinisi pada (-∞,c] untuk suatu bilangn c.
Kita katakan bahwa lim f(x)=L jika untuk masing-masing є >0, terdapat bilangan M yang
x→-∞
berpadanan sedemikian sehingga
x<>
Definisi
{limit – limit tak terhingga }.
Kita katakan bahwa lim f{x}=∞ jika untuk tiap bilangan positif M, berpadanan suatu ∂ >0
x→c+
sedemikian sehingga 0 <>M
Contoh
lim 5x-3
x→ ∞ ────
6x
=5/6
Penggambaran grafik canggih
Kalkulus menyediakan alat ampuh untuk menganalisis struktur grafik secara baik, khususnya dalam mengenali titik-titik tempat terjadinya perubahan cirri-ciri grafik. Kita dapat menempatkan titik-titik maksimum local, titik-titik minimum local, dan titik-titik balik; kita dapat menentukan secara persis di mana grafik naik atau dimana cekung ke atas.
Prosedur dalam menggambar graik fungsi:
Langkah 1 Buat analisis pendahuluan segai berikut:
Periksa daerah asal dan daerah hasil fungsi untuk melihat apakah ada daerah bidang yang dikecualikan
Uji kesimetrian terhadap sumbu y dan titik asal. (Apakah fungsi genap atau ganjil)
Cari perpotongan dengan subu-sun\mbu koordinat
Gunakan turunan pertama untuk mencari titik-titik kritis dan untuk mengetahui tempat-tempat grafik naik dan turun
Uji titik-titik kritis untuk maksimum dan minimum local
Gunakan turunan kedua untuk mengetahui tempat-tempat grafik cekung ke atas dan cekung ke bawahdan untuk melokasikan titik-titik balik
Cari asimtot-asimtot
Langkah 2 Gambarkan beberapa titik (termasuk semua titik kritis dan balik)
Langkah 3 Sketsakan grafik
Contoh
Sketsakan grafik f (x)= 2x3-3x2-36+40
Penyelesaian
f (x)= 2x3-3x2-36+40
f’(x)=6x2-6x-36 = 6(x2-x-6) = 6 (x-3)(x+2)
f”(x)=12x-6 = 6(2x-1)
fungsi f = 2x3-3x2-36+40 naik pada (- ~, - 2] dan [3,~0) serta turun pada [- 2.3]
fungsi f (x)= 2x3-3x2-36+40 cekung bawah di (- ~,1/2} dan cekung atas [1/2,~)
f’(3)=0 dan f’(-2)=0
f(3)=233-3.32-36.3+40
=54-3.9-108+40
=- 14 – 27
= - 41
f(-2)= 2(-2)3-3(-2)2-36(-2)+40
= -16-3.4+72+40
=-16-12+72+40
=84
Jadi menurut uji turunan pertama f(3)=-41 merupakan nilai minimum local dan f(-2)=84 merupakan nilai maksimum local
f”(1/2)=0
f(1/2) = 2(1/2)3-3(1/2)2-36(1/2)+40
=1/4-3/4-18+40
=-45/2
Jadi menurut uji turunan kedua f(1/2)= -45/2 merupakan nilai minimum local
(-2,84) max lokal
▪
Y
3
2
1
(-22,5;1/2)▪ X
-3 -2 -1 -1 1 2 3
-2
-3
▪(1/2;-22,5)
▪ (3:-41) min lokal
Teorema nilai rata-rata
Teorema A
(Teorema nilai rata-rata untuk turunan).
Jika f kontinu padad selang tertutup (a,b) dan terdefinisi pada titik-titik dalam dari (a,b), maka terdapat paling sedikit satu bilangan c dalam (a,b) dimana
f (b) – f (a)
─────── = f’(c)
b-a
atau secara setara dimana
f(b)-f(a)=f’(c) (b-a)
Teorema B
Jika F’(x) = G’(x) untuik semua x dalam (a,b), maka terdapat konstsnta C sedemikian sehingga
F(x)=G(x)+C
Untuk semua x dalam (a,b)
Contoh
Omah menempuh 100 km dalam 4 jam dan menegaskan bahwa ia tidak pernah melampaui 55 km/jam. Gunakan torema nilai rata-ratamembuktikan bahwa ia bohong
Penyelesaian
Terdapat suatu bilangan c dalam (0,2) sedemikian sehingga
f(2)=100
f(0)=0
f’(c) = [f(2) – f(0)]
───────
4- 0
100-0
= ────
4
= 25
Jadi kecepata yang harus ditempuh selama 4 jam haruslah sebesar 5 km/jam
Sehngga terbukti bahwa Ninis telah berbohong