Sabtu, 14 Maret 2009

penggunaan turunan

PENGGUNAAN TURUNAN


  1. Penggunaan Turunan dalam menentukan nilai maksimum dan minimum

Definisi

Andaikan S, daerah asal f, memuat titik c. Kita katakana bahwa:

  • f(c) adalah nilai maksium f pada S jika f(c) ≥ f(x) untuk semua x di S;

  • f(c) adalah nilai minimum f pada S jika f(c) ≤ f(x) untuk semua x di S;

  • f(c) adalah nilai ekstrim f pada S jika ia adalah nilai maksimim atau nilai minimum


Teorema A

(Teorema Eksistensi Maksimum dan minimum).

Jika f kontinu pada selang tertutup [a,b], ,maka f mencapai nilai maksimum dan minimum.


Torema B

(Teorema Titik kritis)

Andaikan f didefinisikan pada selang I yang memuat titik c. JIka f(c) adalh titik ekstrim, maka haruslah suatu titik kritis;yakni c berupa salah satu:

  • Titik ujung dari I

  • Titik stasioner dari f(f’(c)=0);

  • Titik singular dari f(f’(c)tidak ada)

Titik kritis (Titik ujung, Titik stasioner dan Titik singular) merupakan titik kinci dari teori maksimum dan minimum


Contoh:

1.Carilah nilai-nilai maksimum dan mimnimum dari 2x3-3x2-12x+7pada [0,1]

Penyelesaian :

F(x)= x3-6x2-9x+5

F’(x)= 3x2-12x-9

F’(x)=0

x2-4x+3=0

(x-3) (x-1)=0

x=3 U x= 1

Di peroleh titik kritis 0 dan 2

F(0)=5 nilai maksimum

F(2)= -9 nilai minimum





2. Seorang peternak akan membuat pagar untuk menjaga agar ternaknya tidak hilang. Dia memiliki 60 m kawat berduri yang akan dipakai untuk membuat 3 pagar identik yang berdampingan. Berapa ukuran seluruh kelilingnya agar luas maksimum


Penyelesaian

y


x





4x+2y+40

Y=20-2x


Luas total A diberikan oleh:

A=xy

=x(20-2z)

=20x-2x2

Karena harus terdapat 4 sisi sepanjang x.Kita lihat bahwa 0 ≤ x ≤ 30

Sehingga kita harus memaksimalkan A pada [0,30]


A= 20x-2x2

A’=20-4x

A’=0

20-4x=0

x=5


titik ekstrim yang didapat adalah 0,5,30

A(0)=0

A(5)= 150

A(30)=0


Jadi agar mencapai luas max, peternak harus membuat pagar dengan x= 5 m, dan y=20-2x

=20-2(5)

=20-10

=10 m






  1. Penggunaan turunan dalam menentukan kemotonan dan kecekungan

Definisi

Andaikan f terdefinisi pada selang I (terbuka, tertutup,atau tak satupun). Kita katakana bahwa:

  • f adalah naik pada I jika uintuk setiap pasang bilangan x1 dan x2 dalam I,

x1 <>2 → f(x1) <>2)

  • f adalah turunan pada I jika untuk setiap pasang bilangan x1 dan x2 dalam I,

x1 <>2 → f(x1) > f(x2)

  • f monoton murni pada I jika ia naik pada I


Teorema A

(Teorema kemonotonan )

Andaikan f kontinu pada selang I dan dapat di ddiferensialkan pada setiap titik dalam dari I.

  • JIka f’(x) > 0 untuk setiap titik dalam x dari I, maka f naik pada I,

  • Jika f ‘(x) > 0 untuk setiap titik dalam x dari I, maka f naik pada I,

Teorema B

(Teorema kecekungan)

Andaikan f dapat diturunkan dua kali interval buka I yang memuat titik kritis c dimana f’(c)=0. maka:

  • Jika f”(x) >0 pada I, maka f(c) merupakan nilai minimum dari f(x) pada I

  • Jika f”(x) <0>


Contoh

Jika terdapat fungsi f = 2x3-3x2-36+40

  1. Cari dimana f naik dan dimana turun

  2. Cari dimana f cekung ke atas dan dimana cekung ke bawah


Penyelesaian


  1. f(x) = 2x3-3x2-36+40

f’(x)=6x2-6x-36

f’(x)=3(x-3)(x+2)


(x-3)(x+2) >0 (x-3)(x+2) <0>

x>3 U x> -2 x<3>

f’(-2)=0

f'(3)=0




+ (0) _ (0) +



-2 3


Jadi fungsi f = 2x3-3x2-36+40 naik pada (- ~, - 2] dan [3,~0) serta turun pada [- 2.3]



  1. f (x)= 2x3-3x2-36+40

f’(x)=6x2-6x-36

f”(x)=12x-6

f”(x)=6(2x-1)

(2x-1) <>0

x <1/2>1/2

(0)

_ +

1/2



Jadi fungsi

f (x)=2 x3-3x2-36+40 cekung bawah di (- ~,1/2} dan cekung atas [1/2,~)


  1. Penggunaan Turunan dalam menentukan nilai maksimim dan minimum lokal

Definisi

Andaikan S, daerah asal f, memuat titik c. kita katakana bahwa :

    • f(c) nilai maksimum local f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikian sehingga f(c) adalah nilai maksimum f pada (a,b) ∩ S;

    • f(c) nilai minimum local f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikian sehingga F(c) adalah nilai minimum f pada (a,b) ∩ S ;

    • f(c) nilai ekstrim local f jika ia beruapa nilai maksimum local atau minimum local.


Teorema A

(Uji turunan pertama untuk setiap ekstrim local )

  • Jika f’(x) > 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f’(x) <>

  • Jika f’(x) <>0 untuk semua x dalam (c,b), maka f(c) adalah nilai maksimum local f.

  • Jika f’(x) bertanda sama pada kedua pihak c, maka f(c) bukan nilai ekstrim local f.


Teorema B

(Uji turunan kedua untuk ekstrim local)

Andaikan f’ dan f” ada pada setiap titik dalam selang terbuka (a,b) yang memuat c, dan andaikan f’(c) = 0.;

  • Jika f”(c) <>

  • Jika f”(c) > 0, f(c) adalah nilai minimum local f.


Contoh

Tentukan nilai ekstrim local dari f (x)= 2x3-3x2-36+40 dengan menggunakan uji turunan pertama dan kedua


Penyelesaian

f (x)= 2x3-3x2-36+40

f’(x)=6x2-6x-36 = 6 (x2-x-6) = 6 (x-3)(x+2)

f”(x)=12x-6 = 6(2x-1)


f’(3)=0 dan f’(-2)=0

f(3)=233-3.32-36.3+40

=54-3.9-108+40

= - 41


f(-2)= 2(-2)3-3(-2)2-36(-2)+40

= -16-3.4+72+40

=-16-12+72+40

=84

Jadi menurut uji turunan pertama f(3)=-41 merupakan nilai minimum local dan f(-2)=84 merupakan nilai maksimum local


f”(1/2)=0

f(1/2) = 2(1/2)3-3(1/2)2-36(1/2)+40

=1/4-6/8-18+40

=-45/2


Jadi menurut uji turunan kedua f(1/2)= -45/2 merupakan nilai minimum lokal


  1. Lebih banyak masalah maksimum dan minimum

Dalam mencari nilai maksimum dan minimum suatu fungsi adalah dengan himpunan yang berupa selang tertutup. Namun dalam prakteknya, himpunan yang muncul tidak selalu berupa saelang tertutup. Kadang terbuka atau bahkan setengah terbuka, setengah tertutup.


Contoh

Sebuah karton yang luasnya 96 cm2 akan dibuat sebuah kotak tanpa tutup, dengan alas berbentuk persegi. Tentukan ukuran kotak agar volumenya maksimum!


Penyelesaian

Misalnya ukuran kotak adalah panjang=lebar=x dan tinggi =t.

Luas permukaan kotak (tanpa tutup), terdiri dari persegi dan empat persegi panjang. Jadi, L=x2+4xt=96


x


t t







48-x2

t= ──────

2x


Volume , V(x)=x2.t

48-x2

= x2 . ────── =12x-1/2x3

2x

Agar kotak memiliki volume maksimum berarti V’(x)=0 sehingga 12-3/2x2=0

x2=64 ↔ x=8 atau x= -8

Jadi, kotak tersebut memiliki ukuran panjang=lebar=8 satuan dan tinggi, t= 4 satuan




  1. Penerapan Ekonomik

Dalam kehidupan sehari-hari banyak masalah-masalah yang berkaitan dengan penentuan nilai maksimum dan minimum. Misalnya dalam bidang ekonomi contohnya dalam mencari keuntungan (laba) maksimum serta mencari biaya produksi minimum.

Konsep dasar untuk sebuah perusahaan adalah total laba P(x), yakni sisih anatara pendapatan dan biaya.


Contoh

Suatu perusahaan farmasi memproduksi suatu jenis obat dengan harga Rp200,- per unit. Jika banyaknya produksi x unit, biaya totalnya 5.000.000+80x+0,003x2, berapa unutkah produk yang harus dijual agar mendapatkan keuntungan maksimum?


Penyelesaian

Pendapatan total=200x

Biaya total 5.000.000+80x+0,003x2

Misalnya keuntungan L9x)=200x-(5.000.000+80x+0,003x2)

Keuntungan akan maksimum jika L’(x)=0

L’(x)=0 ↔ 120-0,006x=0

0,006x=120

x= 20.000

Untuk x=20.000, unit keuntungan yang diperoleh oleh perusahaan farmasi adalah

L(20.000) = 200.20.000-5.000.000+120.(20.000)-0,003.(20.000)2

=4.000.000-5.000.000+2.400.000-0,003.(400.000.000)

=4.000.000-5.000.000+2.400.000-1.200.000

=200.000

Jadi, keuntungan maksimum diperoleh ketika barang produksinya terjual 20.000 unit dan keuntungan maksimum sebesar Rp 200.000,00


  1. Limit di Ketakhinggaan, Limit tak terhingga


Definisi

(Limit bila x→ ∞)

Andaikan f terdefinisi pada [c,∞) untuk suatu bilangn c.

Kita katakan bahwa lim f(x)=L jika untuk masing-masing є >0, terdapat bilangan M yang

x→∞

berpadanan sedemikian sehingga

x> M→‌‌‌ ‌‌│f(x)-L │< є


Definisi

(Limit bila x→ ∞)

Andaikan f terdefinisi pada (-∞,c] untuk suatu bilangn c.

Kita katakan bahwa lim f(x)=L jika untuk masing-masing є >0, terdapat bilangan M yang

x→-∞

berpadanan sedemikian sehingga

x<>


Definisi

{limit – limit tak terhingga }.

Kita katakan bahwa lim f{x}=∞ jika untuk tiap bilangan positif M, berpadanan suatu ∂ >0

x→c+

sedemikian sehingga 0 <>M


Contoh

lim 5x-3

x→ ∞ ────

6x

=5/6



  1. Penggambaran grafik canggih


Kalkulus menyediakan alat ampuh untuk menganalisis struktur grafik secara baik, khususnya dalam mengenali titik-titik tempat terjadinya perubahan cirri-ciri grafik. Kita dapat menempatkan titik-titik maksimum local, titik-titik minimum local, dan titik-titik balik; kita dapat menentukan secara persis di mana grafik naik atau dimana cekung ke atas.


Prosedur dalam menggambar graik fungsi:


Langkah 1 Buat analisis pendahuluan segai berikut:


  • Periksa daerah asal dan daerah hasil fungsi untuk melihat apakah ada daerah bidang yang dikecualikan

  • Uji kesimetrian terhadap sumbu y dan titik asal. (Apakah fungsi genap atau ganjil)

  • Cari perpotongan dengan subu-sun\mbu koordinat

  • Gunakan turunan pertama untuk mencari titik-titik kritis dan untuk mengetahui tempat-tempat grafik naik dan turun

  • Uji titik-titik kritis untuk maksimum dan minimum local

  • Gunakan turunan kedua untuk mengetahui tempat-tempat grafik cekung ke atas dan cekung ke bawahdan untuk melokasikan titik-titik balik

  • Cari asimtot-asimtot


Langkah 2 Gambarkan beberapa titik (termasuk semua titik kritis dan balik)


Langkah 3 Sketsakan grafik


Contoh

Sketsakan grafik f (x)= 2x3-3x2-36+40


Penyelesaian

f (x)= 2x3-3x2-36+40

f’(x)=6x2-6x-36 = 6(x2-x-6) = 6 (x-3)(x+2)

f”(x)=12x-6 = 6(2x-1)


fungsi f = 2x3-3x2-36+40 naik pada (- ~, - 2] dan [3,~0) serta turun pada [- 2.3]

fungsi f (x)= 2x3-3x2-36+40 cekung bawah di (- ~,1/2} dan cekung atas [1/2,~)







f’(3)=0 dan f’(-2)=0

f(3)=233-3.32-36.3+40

=54-3.9-108+40

=- 14 – 27

= - 41

f(-2)= 2(-2)3-3(-2)2-36(-2)+40

= -16-3.4+72+40

=-16-12+72+40

=84

Jadi menurut uji turunan pertama f(3)=-41 merupakan nilai minimum local dan f(-2)=84 merupakan nilai maksimum local


f”(1/2)=0

f(1/2) = 2(1/2)3-3(1/2)2-36(1/2)+40

=1/4-3/4-18+40

=-45/2


Jadi menurut uji turunan kedua f(1/2)= -45/2 merupakan nilai minimum local





(-2,84) max lokal



Y



3


2


1

(-22,5;1/2)▪ X

-3 -2 -1 -1 1 2 3


-2


-3


(1/2;-22,5)


(3:-41) min lokal


  1. Teorema nilai rata-rata


Teorema A

(Teorema nilai rata-rata untuk turunan).

Jika f kontinu padad selang tertutup (a,b) dan terdefinisi pada titik-titik dalam dari (a,b), maka terdapat paling sedikit satu bilangan c dalam (a,b) dimana

f (b) – f (a)

─────── = f’(c)

b-a

atau secara setara dimana

f(b)-f(a)=f’(c) (b-a)


Teorema B

Jika F’(x) = G’(x) untuik semua x dalam (a,b), maka terdapat konstsnta C sedemikian sehingga

F(x)=G(x)+C


Untuk semua x dalam (a,b)






Contoh

Omah menempuh 100 km dalam 4 jam dan menegaskan bahwa ia tidak pernah melampaui 55 km/jam. Gunakan torema nilai rata-ratamembuktikan bahwa ia bohong

Penyelesaian

Terdapat suatu bilangan c dalam (0,2) sedemikian sehingga

f(2)=100

f(0)=0

f’(c) = [f(2) – f(0)]

───────

4- 0

100-0

= ────

4

= 25


Jadi kecepata yang harus ditempuh selama 4 jam haruslah sebesar 5 km/jam

Sehngga terbukti bahwa Ninis telah berbohong













Tidak ada komentar:

Poskan Komentar